\section{势}

\begin{definition}[][势]
    \textbf{potential}\quad
    $A$,$B$是两个集合，若$A$，$B$之间的元素有一一对应关系，则$A$,$B$对等。
    此时$A$,$B$有相同的势或基数。
\end{definition}

\begin{note}
    势这个概念的直观背景就是元素的个数.两个集A和B,如果有相同的势,
    就意味着集$A$和$B$的元素的个数是"一样多"
\end{note}

\begin{definition}[][计数]
    \textbf{count}\quad
    设$n$是自然数,令$M_n=\{1,2,\cdots,n\}$.如果集$A$能与某个$M_n$对等,那么称$A$是有限集.
    当$A\sim M_n$时,称$n$为集$A$的计数.

    \par 规定空集为有限集,并且它的计数规定为零.

\end{definition}

\begin{theorem}
    \begin{enumerate}
        \item 有限集具有唯一的计数.
        \item 两个有限集相互对等的充要条件是它们的计数相等
        \item 规定有限集$A$的势为集$A$的计数
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\subsection{可列集}

\begin{definition}[][可列集]
    \textbf{Listable}\quad
    设$N$为自然数全体所成之集.凡与集$N$对等的集称为可列集,也称为可数无限集.可列集的势记为
    $\FRN_0$
\end{definition}

\begin{cor}
    \begin{itemize}
        \item 可列集的任何子集,若不是有限集必是可列集
        \item 有限个或可列个有限集或可列集的和集是有限集或可列集
        \item 如果$A,B,\cdots,C$是有限多个有限集或可列集,那么乘积集是有限集或可列集
        \item 设$A$是有限集或可列集,$B$是任一无限集,那么$A\cup B$和$B$的势相等
    \end{itemize}
\end{cor}

\begin{note}
    以下例子均为可列集：
    \begin{itemize}
        \item 三角函数系$\{1,\cos x,\sin ,\cos 2x,\sin 2x,\cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots\}$
        \item 坐标为整数的点$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的集合
        \item 有理数
        \item 整系数多项式
        \item 全体代数式（整系数多项式的实根）
    \end{itemize}
\end{note}

\subsection{连续点集}

\begin{definition}[][连续点集的势]
    \textbf{Potential of continuous point set}\quad
    0到1之间的全部实数的集合$(0,1)$的势为$\FRN$,或记作$c$.
\end{definition}

\begin{note}
    以下集合的势均为$\FRN$
    \begin{itemize}
        \item 实数集
        \item 无理数集
        \item 超越数（非代数式）集
        \item $n$维欧几里得空间所有点的集合
        \item $g$进制无限小数
        \item $[a,b]$上的连续函数$C[a,b]$全体
    \end{itemize}
\end{note}

\begin{theorem}
    如果$Q$是可列集,那么$Q$的子集全体所成之集势为$\FRN$
\end{theorem}

\section{顺序}

\begin{definition}[][顺序]
    \textbf{order}\quad $A$为一个集合，其中的元素之间的关系$\prec $满足：
    \begin{enumerate}
        \item 自反性：$\forall a\in A,a\prec a$
        \item 若$a\prec b, b\prec a$则$a=b$
        \item 传递性：若$a\prec b,b\prec c$ 则 $a\prec c$
    \end{enumerate}

    则$\prec$称为一个顺序。集合$A$为一个半序集，或称其势有序的。

    若$A$中任意两个元素都可以确定一个顺序，则为全序集。

\end{definition}

\begin{lemma}
    设$A$是一个半序集,如果$A$的每个全序子集都有上界,那么$A$必有极大元.
\end{lemma}